简单的二维或者三维我们可以想象出来其分布状态，那么对于更高维的数据，能想象出来其分布吗？还有，就算能描述分布，如何精确地找到这些主成分的轴？如何衡量你提取的主成分到底占了整个数据的多少信息？所以，我们就要用到主成分分析的处理方法。

为了说明什么是数据的主成分，我们首先得了解数据降维，数据降维时怎么回事？二，数据降维  假设三维空间中有一系列点，这些点分布在一个过原点的斜面上，如果你用自然坐标x,y,z这三个轴来表示这组数据的话，需要使用三个维度，而事实上，这些点的分布仅仅是在一个二维的平面上，那么问题出在哪里？如果你仔细想想，能不能把x,y,z坐标系旋转一下，使数据所在平面与x，y平面重合？这就对了！如果把旋转后的坐标记为x'，y'，z'，那么这组数据的表示只用x'和y'两个维度表示即可！

当然了，如果想恢复原来的表示方式，那就得把这两个坐标之间的变换矩阵存下来。这样就能把数据维度降下来了！但是，我们要看到这个过程的本质，如果把这些数据按行或者按类排成一个矩阵，那么这个矩阵的秩就是2！这些数据之间是有相关性的，这些数据构成的过原点的向量的最大线性无关组包含2个向量，这就是为什么一开始就假设平面过原点的原因！

那么如果不过原点呢？这就是数据中心化的缘故！将坐标原点平移到数据中心，这样原本不相关的数据在这个新坐标系中就有相关性了！有趣的是，三点一定共面，也就是三维空间中任意三点中心化后都是线性相关的，一般来讲n维空间中n个点一定能在一个n-1维子空间中分析！

总结一下这个例子，数据降维后并没有丢弃任何东西，因为这些数据在平面以外的第三个维度的分量都为0。现在，假设这些数据在z'轴有一个很小的抖动，那么我们仍然用上述的二维表示这些数据，理由是我们可以认为这两个轴的信息是数据的主成分，而这些信息对于我们的分析已经足够了，z'轴上的抖动很有可能是噪音，也就是说本来这组数据是有相关性的，噪声的引入，导致了数据不完全相关，但是，这些数据在z'轴上的分布与原点构成的夹角非常小，也就是说在z'轴上有很大的相关性，综合考虑，就可以认为数据在x'，y'轴上的投影构成了数据的主成分！

所以说，降维肯定意味着信息的丢失，不过鉴于实际数据本身常常存在的相关性，我们可以想办法在降维的同时将信息的损失尽量降低。

下面在说一个极端的情况，也许在现实中不会出现，但是 类似的情况还是很常见的。

假设某学籍数据有两列M和F，其中M列的取值是如果此学生为男性，则取值为1，为女性则取0；而F列是学生为女性，则取值为0，男性则为1.此时如果我们统计全部学籍数据，会发现对于任何一条记录来说，当M为1时F必定为0，反之当M为0时F必定为1，在这种情况下，我们将M或者F去掉实际上没有任何信息的损失，因为只要保留一列就可以完全还原另一列。

那么降维我们差不多说清楚了，现在我们将自己面对的数据抽象为一组向量，那么下面我们有必要研究一些向量的数学性质，而这些数学性质将成为后续推导出PCA的理论基础。